Анатомия календаря (время прочтения - 8 минут)


С древних времен человек нуждался в надежном способе измерять большие промежутки времени. Примитивный прообраз календаря, основанный на непосредственном наблюдении фаз луны, появился еще в палеолите. С тех пор астрономия и математика шагнули далеко вперед, увеличив точность и удобство использования календарей. Не отставала от них и политика, породив целый ворох «революционных» идей по переустройству времяисчисления.

 

Цепные дроби – инструмент астронома

Для начала сделаем небольшое отступление, чтобы показать, что же такое цепные дроби. Возьмем вещественное число, например хорошо всем знакомое
. Представим его в виде суммы целой и дробной частей, причем последней предадим вид обыкновенной дроби, в числителе которой стоит единица:


Далее повторим процесс со знаменателем 7,0625... :


Раз за разом исполняя этот нехитрый алгоритм, мы получим представление π вида


которое и называется цепной дробью. Она также обозначается как [3; 7, 15, 1, 292...].

Естественно, возникает вопрос, остановится ли когда-нибудь это разложение, то есть достигнем ли мы такого знаменателя, у которого будет только целая часть? Если число рациональное (то есть может быть представлено как дробь «целое поделить на целое»), то конечное разложение существует, в противном случае, то есть и для иррационального π, – нет.

Чтобы получить конечную цепную дробь для иррационального числа, нам нужно оборвать выполнение алгоритма на каком-то шаге, то есть для одного из знаменателей просто отбросить дробную часть вместо того, чтобы раскладывать ее. Например, если сделать это для второго шага, то мы получим:


Жирным шрифтом выделены цифры, совпадающие с реальным значением π. Как видно, результат такого «укорачивания» приблизительно равен исходному числу. Автором этого приближения, например, являтся Архимед, получивший его в III веке до нашей эры. Разница с π будет тем меньше, чем больше шагов мы сделали. Вот, например, уже следующее приближение:



и еще одно, сделанное китайским математиком и астрономом Цзу Чунчжи в V веке нашей эры:


«Почему же цепные дроби так важны для понимания работы календаря?» – спросите вы. Увы, наша солнечная система неладно скроена, и основные временные ориентиры для человека: день, год, месяц (в значении времени оборота Луны вокруг Земли) не умещаются друг в друга целое число раз. Например, в каждый год накапливается небольшое расхождение примерно в четверть дня, поэтому в нашем, григорианском календаре каждый четвертый год объявляется високосным, то есть с дополнительным днем, сложенным из таких остатков. Без подобных исправлений календарная зима за пару веков съехала бы на реальное лето! Приближенное значение дробного остатка, записанное в виде обыкновенной дроби, позволит узнать за какой период времени (знаменатель) набегает то или иное целое количество таких «добавок» (числитель). Но обо всем по порядку.

 

Светило ночное


Лунный календарь

Исторически первыми появились лунные календари. Луна – отличный объект для наблюдения невооруженным глазом. Кроме того, ее фазы регулярно сменяют друг друга и по тому, видима была рождающаяся ли, полная или стареющая луна, древние могли дополнительно соориентироваться во времени.

Период, равный обороту Луны вокруг Земли, называется месяцем и составляет, в зависимости от уточнения определения, 27–30 дней. Чаще всего под этим термином подразумевают так называемый синодический месяц, то есть промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми фазами Луны, например полнолуниями. Его продолжительность колеблется с разницей до 13 часов и в среднем составляет 29,5305882... дня. Двенадцать синодических месяцев называют лунным годом, который длится 12 × 29,53059... = 354,36708... дня и получается короче солнечного на 365,24222... - 354,36708... = 10,87514... дня.

Главной заботой составителей лунных календарей было сохранение соответствия календарных месяцев с целым количеством дней с синодическими месяцами. Для этого, во-первых, в четных месяцах было установлено 29 дней, в нечетных – 30, а во-вторых, введена система високосных годов, в которые добавляется один дополнительный день к последнему месяцу. Про последнее мы и поговорим подробнее.

На сегодняшний день лунные календари преимущественно представлены вариациями исламского календаря. Как уже было сказано выше, в них 354 целых дня и еще плюс остаток, равный 0,36708... дня. Разложив остаток в цепную дробь, мы увидим что:


Ограничиваясь цепной дробью мы получаем так называемый турецкий цикл, в котором на каждые восемь лет приходится три високосных года по 355 дней: это 2-й, 5-й и 7-й. Погрешность (0,375 - 0,36708... = 0,00792... дня (или 11 минут)) такова, что один лишний календарный день накапливается всего за 1/0,00792... = 126,26... года.

Более точным является «арабский цикл», в котором за 30 лет високосными являются 2-й, 5-й, 7-й, 10-й, 13-й, 16-й, 18-й, 21-й, 24-й, 26-й, 29-й года – всего 11 високосных лет. Он получается в результате разложения
. Недостача в один календарный день накапливается приблизительно за 2 440 лет.

 

Солнце над Нилом и Тибром

Древнеегипетский календарь

При всем удобстве Луны для наблюдений скоро у лунных календарей обнаружились крупные недостатки. Одним из них был тот, что движение Луны по небу является довольно сложным процессом, поэтому возникали разночтения при его наблюдении на разных широтах, при определении наступления новой фазы (и, соответственно, месяца) и т.д. Но существеннейшим недостатком было отставание лунного года от солнечного: синодические месяцы не были привязаны ко временам года, по ним нельзя было определить, когда можно сеять, уже не боясь заморозков, а когда можно собирать урожай, долго ли еще продлится зима и когда ждать разлива реки, например Нила. Все эти вещи были важны для ранних, основанных на ирригационном сельском хозяйстве, цивилизаций, таких как Междуречье, Египет, Индия, Китай. Поэтому на смену лунным календарям приходят солнечные, ориентированные на так называемый тропический год, равный 365,24219... дня. Его разложение в цепную дробь выглядит как [365; 4, 7, 1, 3, 5…].

Первым дошедшим до нас календарем является древнеегипетский. Египтяне связывали начало года с восходом Сириуса (Сотиса) в «лучах утренней зари», то есть непосредственно перед солнцем. Это событие повторялось каждый тропический год с разницей плюс-минус один день и предвещало разлив Нила, приносившего с водой плодородный ил на поля. Тем не менее древнеегипетский год состоял из 365 дней, а високосные года отсутствовали, поэтому со временем утренний восход Сириуса смещался с первого дня календаря. За 1 453 года, так называемый цикл Сотиса, остатков накапливалось на дополнительный год, и Сириус снова начинал всходить в первый день календарного года. Современными потомками древнеегипетского времяисчисления являются эфиопский и коптский календари, используемые в национальных древневосточных церквях и синхронизированные с юлианским.



Юлианский календарь


Юлианский календарь является модернизацией древнеримского календаря, проведенной по проекту александрийский астрономов, которых возглавлял Созиген. Он был введен в обращение в 45 году до нашей эры Юлием Цезарем, от которого и получил свое название. Главное новшество юлианского календаря – високосные года, в которые добавлялся новый, 366-й день. Високосным был каждый четвертый год – создатели календаря использовали приближение . С введением календаря связан казус, заключавшийся в том, что римские жрецы сначала не поняли, к каким годам следует добавлять еще один день, и считали високосным каждый пятый (то есть через четыре, а не каждый четвертый год). Ошибка была устранена уже при императоре Августе, а накопившаяся разница подправлена. Католические страны Западной Европы отказались от юлианского в 1582 году, после постановления папы Григория XIII, в протестантских календарь постепенно замещался григорианским и окончательно исчез к середине XVIII века. В России «старый стиль» продержался до революции и был заменен в 1918 году декретом Совнаркома. До сих пор юлианский календарь используется рядом православных церквей (в том числе и Русской), а также Эфиопией как государственный. Ежегодная погрешность составляет порядка 10 минут, поэтому разница в один день с тропическим годом накапливается за 128 лет. К настоящему моменту разница с общепринятым григорианским календарем составляет уже 13 дней.



Григорианский календарь


Григорианский стал результатом уточнения юлианского календаря католической церковью в XVI веке. Он примечателен тем, что вместо цепных дробей имеет в своей основе хорошо подобранную систему правил: високосным в обязательном порядке считается каждый 400-й год и каждый 4-й, за исключением 100-го, – то есть получается 97 високосных лет из каждых 400. Таким образом, это дает нам длину календарного года, равную 


дня. Погрешность составляет всего 27 секунд в год, значит, ошибка в один день накопится приблизительно за 3 200 лет.

 

 

 

Liberté, Égalité, Fraternité

Существует два календаря, использующих приближение . Первый из них был разработан персидским поэтом, математиком и астрономом Омаром Хаямом в 1079 году. Как можно видеть, времяисчисление разбито на 33-летние циклы, в каждом из которых встречается по восемь високосных лет: семь раз каждый четвертый и восьмой раз – пятый год, то есть последний год цикла. Этот календарь точнее григорианского и дает погрешность всего 11 секунд в год. Начало года приходится на весеннее равноденствие, праздник весны Навруз. В настоящее время он используется в Иране и Афганистане.

Аналогичным персидскому по устройству является Французский Республиканский календарь. Он был введен после Великой Французской Революции декретом Национального конвента в 1793 году. Специальная комиссия под руководством Шарля-Жильбера Ромма разработала новую систему исчисления времени, которая должна была означать разрыв с традициями и порядками Старого Режима. К сожалению, способ определения номеров високосных годов внутри 33-летнего цикла не устоялся. Планировалось, что годом с дополнительным днем (франсиадой) будет каждый четвертый год, в честь четырехлетнего периода от взятия Бастилии до отмены монархии. И действительно, таковыми были 3-й, 7-й и 11-й годы Республики. Однако вместе с тем объявлять год високосным должна была Парижская обсерватория, согласуясь с наблюдениями за осенним равноденствием и расчетами: 15-й и 20-й (разница в пять лет вместо четырех) тоже должны были получить по дополнительному дню. Помешала этому отмена революционного календаря императором Наполеоном Бонапартом в 1806 году.

Впрочем, революционизировать республиканский календарь должен был не только учет лет. Начало года переносилось с 1 января на 22 сентября, то есть как раз на дату осеннего равноденствия, что и объясняет необходимость астрономических наблюдений. Год делился на 12 месяцев по 30 дней в каждом. Поскольку новые месяцы не совпадали со старыми, им дали другие имена: осень составляли вандемьер, брюмер, фример; зиму – нивоз, плювиоз, вантоз; весну – жерминаль, флореаль, прериаль; лето – мессидор, термидор, фруктидор. Имя месяца отражало свойственное ему состояние природы или сельскохозяйственного цикла. Например брюмер означает «месяц туманов», а мессидор – «месяц жатвы».

Нетрудно посчитать, что 12 x 30 = 360 дней, в то время как в обычном году их 365. «Лишние» пять дней назывались санкюлотидами, в честь санкюлотов – простонародья, свергнувшего королей. Санкюлотиды шли в конце года, не относились ни к одному месяцу и имели отдельные названия: День Доблести/Добродетели, День Таланта, День Труда, День Мнений, День Наград. В високосный год к ним добавлялся шестой санкюлотид – День Революции. Строго говоря, вообще все дни республиканского календаря носили имена собственные: связанные с орудием труда (если число оканчивалось на 0), животным (на 5) или растением или минералом (во всех остальных случаях). Но на практике все дни, кроме санкюлотид, записывали в более привычной для нас форме «число + месяц».

Кроме того, вместо семидневных недель были введены декады, то есть десятидневки, коих в каждом месяце было три. Вообще, «метризация» времени достигла непревзойденных ни до, ни после высот: каждый из 10 дней декады делился на 10 часов (1 революционный час = 2 часам 24 минутам), каждый час – на 100 минут (примерно полторы современных минуты), каждая минута – на 100 секунд. Увы, но последняя инициатива получила весьма ограниченное распространение. Если считать дни декадами вместо недель было относительно легко, то перекраивание суток под десять часов требовало изменения разметки географических координат (прежде всего меридиан), что явно не было приоритетным проектом для потрясаемой революционными войнами Франции.

Хотя официально после отмены революционный календарь вводился лишь на короткое время в 1871-м году Парижской Коммуной, он оставил глубокий след в культуре континентальной Европы. Конец XVIII и XIX век – крайне бурное время: феодальные монархии в череде революций, войн и реформ уступали место буржуазным республикам. Великая Французская Революция дала имена этапам этих политических процессов – имена дней и месяцев республиканского календаря. Так, контрреволюционный переворот 9 термидора 2-го года Республики (27 июля 1794 года), который сверг якобинцев и всемогущего Робеспьера, носит имя этого месяца. И по аналогии термидорами называют все события подобного рода. Другой переворот привел уже Наполеона к власти – это было 18 брюмера 8-го года Республики (9 ноября 1799 года). Именно к этому событию отсылает Карл Маркс в названии своей известной работы «18 брюмера Луи Бонапарта», в которой он описывает реалии Франции 1851 года и установление президентской диктатуры уже племянника известного полководца. Не обошла стороной «календарная» мода и деятелей искусства: роман одного из крупнейших представителей французского реализма Эмиля Золя «Жерминаль» носит имя 7-го месяца года – первого месяца весны. Склонявшийся к социалистическим взглядам писатель выбрал для натуралистической книги о жизни шахтеров местечка Монсу название «месяца ростков», намекая на рождение новой революционной волны из среды рабочих.

 

На пределе точности и здравого смысла

Вернемся к попыткам приблизить продолжительность года системой високосных лет. Теперь, когда механизм формирования циклов и определения количества високосов в них объяснен, у читателя, возможно, возник вопрос, почему в мире до сих пор используют календари, все еще дающие погрешность в исторически обозримой перспективе? Ошибка в один день в 3 200 лет в нашем, григорианском летоисчислении – это, конечно, не так много, но все же сравнимо с возрастом существованием цивилизации. Разве нельзя сделать календарь, который не требовалось бы поправлять практически никогда?



Иоганна Генриха фон Медлера


Конечно, такие попытки предпринимались, однако результаты получились скорее курьезные, неудобные в применении на практике. Из таких календарей-монстров прежде всего стоит выделить проект Иоганна Генриха фон Медлера, немецкого астронома, состоявшего на службе Российской Империи. В 1864 году он предложил царскому правительству заменить старый стиль на сверхточный календарь, использующий приближение , то есть содержащий 31 високос в 128-годичном цикле. Ошибка в одни стуки накапливалась бы в нем лишь за 100 000 лет. Однако календарь не был принят на рассмотрение и в дальнейшем идея Медлера применения себе нигде не нашла.



Милутин Миланкович


Несколько другая судьба ожидала новоюлианский календарь, предложенный сербом Милутином Миланковичем. Он взял за образец правила григорианского календаря и усовершенствовал их, получив погрешность менее чем 2 секунды за год, или погрешность в один день, накапливающуюся за 10 000 лет. Как и григорианский оригинал, новоюлианский календарь не использует цепные дроби. Год считается високосным, если его номер без остатка делится на 4 и не делится на 100, но также и если номер года делится на 900 с остатком 200 или 600. Иными словами, календарная длина года составляет



дней. Новоюлианский календарь принят большинством поместных православных церквей.

Здесь надо отметить, что создание более точных календарей лишено смысла, так как наша солнечная система хоть и очень медленно, но все же изменяется: понемногу сокращается продолжительность тропического года, а также расстояние от Луны до Земли и т.д. Поэтому энтузиаст, рассчитавший календарь с погрешностью в сутки за миллион лет, рискует столкнуться с проявившимся несовпадением теории и практики уже через несколько сотен тысяч оборотов планеты вокруг светила!

 

Вместо послесловия: еще один календарь

Закончив рассмотрение солнечных календарей, стоит упомянуть еще и о переходном звене между ними и предшествующими – лунными календарями. Если оба этих типа стремятся правильно определить количество дней в лунном или солнечном году, то лунно-солнечные ориентированы на то, чтобы определять количество синодических месяцев в солнечном году. Приведем только один пример – еврейский календарь, являющийся официальным в Израиле наряду с григорианским.

Как вы помните, продолжительность синодического месяца составляет 29,53059... суток, а продолжительность тропического года – 365,24219... суток. Таким образом, в одном тропическом году содержится 365,24219... / 29,53059... = 12,36827... синодического месяца. Следовательно, обычный год будет содержать 12 месяцев, а эмболисмический (аналог високосного) – 13. Посмотрим на цепную дробь для остатка 0,36827... :



В еврейском календаре используется приближение , то есть на цикл из 19 лет приходится семь эмболисмических годов по 13 месяцев каждый. Как и в исламском календаре, месяцы по 30 и 29 дней чередуются. Исключение составляют случаи, когда год решают удлиннить или укоротить на день из-за религиозных ограничений, связанных с подготовкой к некоторым праздникам, и предписания избегать работы в определенные дни. В связи с этим погрешность в одни сутки, которая должна набегать за 219 лет, все время подвергается «ручной» корректировке и устраняется.


Автор Иван Воробьев



Выберите вариант регистрации как:

Физическое лицо
Эксперт

Нажимая «Зарегистрироваться», я принимаю Политику конфиденциальности Портала и мобильного приложения.

Войдите в свой аккаунт

Забыли свой пароль? Регистрация

Войти с помощью:

Восстановление пароля

Ваш пароль успешно выслан вам на email

Форма авторизации на сайте
Регистрация
Забыли свой пароль?
Войти как пользователь:
Войти как пользователь
Вы можете войти на сайт, если вы зарегистрированы на одном из этих сервисов:

Регистрация на Портале с помощью электронной почты

Нажимая «Зарегистрироваться», я принимаю Политику конфиденциальности Портала и мобильного приложения.

Спасибо за регистрацию. Теперь можете войти на портал с помощью логина и пароля.

Зарегистрируйтесь на Портале.

Выберите удобный для Вас вариант регистрации.



или


Нажимая «Зарегистрироваться», я принимаю Политику конфиденциальности Портала и мобильного приложения.

Регистрация Эксперта на Портале







Нажимая «Зарегистрироваться», я принимаю Политику конфиденциальности Портала и мобильного приложения.

Спасибо за регистрацию. Теперь можете войти на портал с помощью логина и пароля.

Портал профессионального образования Хабаровского края создан по инициативе Краевого государственного автономного образовательного учреждения дополнительного профессионального образования «Хабаровский краевой институт развития системы профессионального образования» (КГАОУ ДПО ХКИРСПО). Вы так же можете скачать мобильное приложение профессионального образования Хабаровского края. Мобильное приложение разработано для iOS и Android.